அலைகளின் ஊடல் : ஃபோரியர் 

#மாதிரி நிரல் ~ fourier transform using sympy

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp

# — 1. Symbolic Solution using SymPy —
t, w = sp.symbols(‘t w’, real=True)
a = sp.symbols(‘a’, real=True, positive=True)

# Define the function f(t) = e^(-at) for t >= 0
f_t = sp.exp(-a * t)

# Compute Fourier Transform: integral from 0 to infinity of f(t) * e^(-iwt)
# (Integration starts at 0 due to the unit step function u(t))
F_w = sp.integrate(f_t * sp.exp(-sp.I * w * t), (t, 0, sp.oo))

print(“Symbolic Result F(w):”)
sp.pprint(sp.simplify(F_w))

# — 2. Numerical Plotting —
a_val = 2.0  # Constant for decay
t_vals = np.linspace(-1, 5, 500)
# Time domain: e^(-at) for t >= 0, else 0
f_vals = np.where(t_vals >= 0, np.exp(-a_val * t_vals), 0)

# Frequency domain: w from -10 to 10
w_vals = np.linspace(-10, 10, 500)
F_vals = 1 / (a_val + 1j * w_vals)  # Using the derived formula

magnitude = np.abs(F_vals)
phase = np.angle(F_vals)

# Create the plots
plt.figure(figsize=(10, 8))

# Time Domain Plot
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t_vals, f_vals, ‘b’, lw=2)
plt.title(f’Time Domain Signal: $f(t) = e^{{-{a_val}t}} u(t)$’)
plt.grid(True)

# Magnitude Spectrum Plot
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(w_vals, magnitude, ‘r’, lw=2)
plt.title(‘Magnitude Spectrum $|F(\omega)|$’)
plt.grid(True)

# Phase Spectrum Plot
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(w_vals, phase, ‘g’, lw=2)
plt.title(‘Phase Spectrum $\\angle F(\omega)$’)
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.savefig(‘fourier_transform_plot.png’)

இயற்கையில் நாம் காணும் அனைத்தும் ஏதோ ஒரு வகையில் அலைகளால் ஆனவை. கடலில் எழும் அலைகள் முதல், நம் காதுகளில் ஒலிக்கும் இசை, கணினியில் நாம் பார்க்கும் காணொளிகள் வரை அனைத்தும் அலைகளின் விளையாட்டுதான். இந்த அலைகளின் பின்னால் இருக்கும் கணித ரகசியத்தை அவிழ்த்தவர்தான் ஜோசப் ஃபோரியர் (Joseph Fourier). இந்த பெயரைக் கேட்டு பள்ளி அல்லது கல்லூரி கணிதவியல் பாடத்தில் பயந்து போனவர்கள் பலபேர் இருப்பார்கள். உண்மையில் எதற்காக இதை படிக்கிறோம் என்றே தெரியாமல் படித்தவர்களுள் எனக்கு முதன்மையான இடம் உண்டு. ஆனால், அதன் ஆழமான தேவையை தேடி பார்க்கும்போது நான் கற்பனை செய்து பார்க்காத வகையில் எண்ணில் அடங்காத பதில்களை கண்டெடுக்க முடிந்தது. என்னதான் செய்யறிவு தொழில்நுட்பத்தின் உதவி கொண்டு நான் எழுதத் தொடங்கி இருந்தாலும், வழங்கப்பட்டிருக்கும் தரவுகள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கு பலமுறை சரிபார்க்கப்பட்டு வெளியிட்டிருக்கிறேன். தேடுவோம் தேடிக்கொண்டே இருப்போம்.

நாம் ஏன் ஃபோரியரைக் கண்டறிந்தோம்? 

18-ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், வெப்பம் ஒரு பொருளிலிருந்து மற்றொரு பொருளுக்கு எவ்வாறு பரவுகிறது என்பதை ஆராய்ந்தபோதுதான் ஃபோரியருக்கு ஒரு பொறி தட்டியது. ஒரு சிக்கலான அலையை (Complex Wave) எளிமையான சைன் (Sine) மற்றும் கோசைன் (Cosine) அலைகளின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிக்க முடியும் என்று அவர் தெரிவித்தார். எவ்வளவு சிக்கலான பொருளாக இருந்தாலும் அதை துண்டு துண்டாக உடைப்பது என்பது சாத்தியம்தான். எப்படி அணுவைப் பிளக்க முடியும் என நாம் கண்டுபிடித்தோமோ அது போல அலைகளையும் உடைத்து எறிய முடியும் என கண்டுபிடிக்கப்பட்டது தான் இந்த விதிகள்.

அக்காலத்திய கணிதவியலாளர்கள் இதை ஏற்க மறுத்தாலும், இன்று நவீனத் தொழில்நுட்பத்தின் முதுகெலும்பாக இதுவே நிற்கிறது. ஒரு சிக்கலான அலைகளை எளிய வடிவில் தீர்க்க அதைச் சிறு சிறு துண்டுகளாகப் பிரிப்பது எப்படி பொதுவான உத்தியோ, அதுபோலவே ஒரு சிக்கலான சிக்னலை அதன் அடிப்படை அதிர்வெண்களாகப் பிரிப்பதே ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு (Fourier Analysis).

ஃபோரியர் தொடர் மற்றும் உருமாற்றம்

ஃபோரியர் தொடர்பாக நீங்கள் படிக்கும்போது சீரிஸ் மற்றும் டிரான்ஸ்பர்மேஷன் என படித்திருப்பீர்கள். எதற்காக ஒரே விதியில் இரண்டு பிரிவுகள் இருக்க வேண்டும். இவற்றிற்கு இடையிலான வித்தியாசங்கள் தான் என்ன? வாருங்கள்

நாம் முதலில் இரண்டிற்குமான வேறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்வோம்.

• ஃபோரியர் தொடர் (Fourier Series): இது குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் மீண்டும் மீண்டும் நிகழும் (Periodic) அலைகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எப்படி அமாவாசையும் பௌர்ணமியும் மாதம்தோறும் சரியாக வந்துவிடுகிறதோ அதுபோலதான் இதுவும். ஒரு கடிகாரத்தின் ஊசலாட்டத்தை இதை வைத்து கணக்கிட்டு விட முடியும். 
• ஃபோரியர் உருமாற்றம் (Fourier Transform): இது மீண்டும் மீண்டும் நிகழாத, ஒருமுறை மட்டும் நிகழும் (Non-periodic) சிக்னல்களை ஆய்வு செய்யப் பயன்படுகிறது. இன்றைய டிஜிட்டல் உலகில் நாம் அதிகம் பயன்படுத்துவது இதையே. நீங்கள் கேட்டுக் கொண்டிருக்கும் பாடல் முதல், உங்களோடு நண்பர்கள் இணையத்தில் உரையாடிக் கொண்டிருப்பது வரை பெரும்பாலான இடங்களில் ஒரு முறை மட்டுமே நிகழக்கூடிய நான் பீரியாடிக்(Non periodic) சிக்னல்களை தான் நாம் பயன்படுத்தி வருகிறோம்.

கணிதச் சூத்திரம் 

ஃபோரியர் தொடரின்( series) பொதுவான வடிவம் பின்வருமாறு அமையும்:

f(x)=2a0+n=1∑∞[ancos(nx)+bnsin(nx)]

இங்கு:

• f(x) என்பது நாம் ஆய்வு செய்யும் சிக்கலான அலை.
• a0,an,bn என்பவை ஃபோரியர் கெழுக்கள் (Coefficients) என அறியப்படுகிறது. இவை அந்த அலைக்குள் இருக்கும் ஒவ்வொரு சிறிய அலையின் வீச்சு (Amplitude) மற்றும் தன்மையைக் குறிக்கின்றன. ஒரு அலையை துண்டு துண்டாக உடைப்பதில் இதன் பங்கு  இன்றியமையாதது. இதற்கான கணிதவியல் செயல்பாடுகளை கீழே தனி இணைப்பில் வழங்கியிருக்கிறேன். ஆர்வம் இருப்பின் பாருங்கள்.

இது நமக்கு ஏன் தேவை? 

ஒரு கோப்பைத் தேநீரில் சர்க்கரை, பால், தேயிலை கலந்து இருக்கிறது. குடித்தவுடன் சுவை தெரிகிறது, ஆனால் அதில் எவ்வளவு சர்க்கரை இருக்கிறது என்று தனித்தனியாகப் பிரித்துப் பார்க்கத் தெரியவில்லை என்றால் என்ன செய்வோம்?

டிஜிட்டல் சிக்னல்களும் அப்படித்தான். ஒரு ஆடியோ கோப்பில் பலரின் குரல்கள் கலந்திருக்கலாம், பின்னணி இரைச்சல் இருக்கலாம். ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது ஒரு ‘கணித வடிகட்டி’ (Mathematical Filter) போலச் செயல்பட்டு, அந்த ஒலியிலிருந்து தேவையில்லாத இரைச்சலை நீக்கி, குறிப்பிட்ட அதிர்வெண்களை மட்டும் நமக்குத் தனித்துக் காட்டுகிறது. உதாரணமாக நீங்கள் பேசும் குரலுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் இருக்கும், பூனை மியாவ் என சத்தம் போடுவதற்கு தனி அதிர்வெண் இருக்கும். இந்த இரண்டையும் பிரித்துப் பார்த்து, பூனை போடும் சத்தத்தை நீக்கிவிட்டு நீங்கள் பேசும் சத்தத்தை நிகழ் நேரத்தில் கேட்க வைப்பது தான் Active noise cancellation.

சில பயன்பாடுகள்

ஒலித் தரம் (Audio Processing): நாம் கேட்கும் MP3 பாடல்கள் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் விளைவே. மனிதக் காதுகளுக்குத் தேவையில்லாத உயர் அதிர்வெண் ஒலிகளை நீக்கி, கோப்பின் அளவைச் சுருக்குவதற்கு இது பயன்படுகிறது. பொதுவாக ஆடியோ கம்ப்ரஷனில் இதன் பங்கு முக்கியமானது.

மருத்துவம் (Medical Imaging): MRI மற்றும் CT ஸ்கேன்களில் மனித உடலின் உட்புற பிம்பங்களை உருவாக்க ஃபோரியர் கணிதமே அடிப்படை.

தொலைத்தொடர்பு: உங்கள் அலைபேசியில் தரவுகள் (Data) காற்றில் மின்காந்த அலைகளாகப் பரவும்போது, அவை ஒன்றோடு ஒன்று மோதாமல் இருக்க இந்தத் தொழில்நுட்பம் உதவுகிறது.

உதாரணமாக, ஒரு பியானோவில் ‘C’ என்ற கட்டையை அழுத்தினால் ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் பிறக்கிறது. ஆனால், ஒரே நேரத்தில் பத்து கட்டைகளை அழுத்தினால் ஒரு சிக்கலான ஓசை பிறக்கும். அந்த ஓசையை மட்டும் கேட்டு, அதில் என்னென்ன கட்டைகள் அழுத்தப்பட்டன என்று உங்களால் சொல்ல முடியுமா? மனித மூளைக்கு இது கடினம், ஆனால் ஃபோரியர் உருமாற்றத்திற்கு இது ஒரு நொடி வேலை.

மருத்துவம்

மருத்துவத்தில் ஃபோரியரின் பங்கினை ஆராய்வோம்.

மருத்துவத் துறையில் ஃபோரியர் (Medicine & Bio-Signals)

நமது உடல் ஒரு தொடர்ச்சியான சிக்னல் தளம். இதயம் துடிப்பது முதல், மூளை நரம்புகள் மின் தூண்டல்களைக் கடத்துவது வரை அனைத்தும் அலைகளாகவே (Bio-signals) பதிவு செய்யப்படுகின்றன. இந்த அலைகளை பகுப்பாய்வு செய்துதான் நமது உடலில் என்னென்ன பிரச்சனைகள் நிலவுகிறது என்பதை மருத்துவர்கள் கண்காணிக்கிறார்கள்.

1. EEG (Electroencephalogram) – மூளை அலைகளின் ரகசியம்

மூளையின் செயல்பாடுகளை ஆராய EEG பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒருவரின் தலையில் பொருத்தப்படும் மின்முனைகள் (Electrodes) மூளையிலிருந்து வரும் மிக நுண்ணிய மின் அலைகளைப் பதிவு செய்கின்றன. இந்த அலைகள் பார்ப்பதற்கு மிகவும் குழப்பமாக, சீரற்ற கோடுகளாகத் தெரியும். பொதுவாக மூளை நரம்பியல் பிரச்சனைகள் இருப்பவர்களுக்கு இந்த பரிசோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படும்.

இங்குதான் ஃபோரியர் உருமாற்றம் (Fast Fourier Transform – FFT) களமிறங்குகிறது. இந்தச் சீரற்ற அலைகளைப் பகுப்பாய்வு செய்து, அவற்றை நான்கு முக்கிய அதிர்வெண் பட்டைகளாகப் பிரிக்கிறது:

• Delta (δ): ஆழ்ந்த உறக்கத்தின் போது தோன்றுபவை.
• Theta (θ): தியானம் அல்லது அரைத் தூக்க நிலை.
• Alpha (α): விழிப்புடன் ஆனால் அமைதியாக இருக்கும் நிலை.
• Beta (β): தீவிரமான சிந்தனை அல்லது பதற்றமான நிலை.

( முறையே இவற்றை விடவும் ஆழமான பகுப்பாய்வு முறைகள் இருக்கலாம்) 

ஒரு நோயாளிக்கு வலிப்பு (Epilepsy) அல்லது தூக்கக் கோளாறுகள் இருக்கும்போது, இந்த அதிர்வெண் பிரிப்பு முறையைப் பயன்படுத்தியே மூளையின் எந்தப் பகுதியில் அசாதாரண அலைகள் உருவாகின்றன என்பதை மருத்துவர்கள் கண்டறிகின்றனர். அதைப் பொறுத்து சிறிய மருந்து முதல் அறுவை சிகிச்சை வரை துல்லியமாக செய்வதற்கு முடிகிறது.

2. ECG (Electrocardiogram) – இதயத்தின் தாளம்

இதயத் துடிப்பைப் பதிவு செய்யும் ECG வரைபடங்களில், இதயத் தசைகளின் சுருக்கம் மற்றும் விரிவடைதல் அலைகளாகக் காட்டப்படுகின்றன. ஃபோரியர் தொடர்களைப் பயன்படுத்தி, இதயத் துடிப்பின் சீரான தன்மையை (Heart Rate Variability) அளவிட முடியும். இதயத் துடிப்பில் இருக்கும் மிகச்சிறிய மாற்றங்களைக் கூட ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு மூலம் கண்டறிந்து, மாரடைப்பு போன்ற ஆபத்துகளை முன்கூட்டியே கணிக்க முடிகிறது.

நவீன AI-ல் ஃபோரியரின் பங்கு 

இன்று நாம் பேசும் செயற்கை நுண்ணறிவு (AI) மற்றும் இயந்திரக் கற்றல் (Machine Learning) ஆகியவற்றில் “Convolutional Neural Networks” (CNN) மிக முக்கியமானது. குறிப்பாகப் படங்களை அடையாளம் காண்பதில் (Image Recognition) இதன் பங்கு அதிகம்.

வேகமான கணக்கீடு: கணினி ஒரு படத்தைப் பகுப்பாய்வு செய்யும்போது, ஒவ்வொரு பிக்சலையும் (Pixel) தனித்தனியாகக் கணக்கிடுவது அதிக நேரமெடுக்கும். ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு படத்தை அதன் ‘Spatial Domain’-லிருந்து ‘Frequency Domain’-க்கு மாற்றும்போது, கணக்கீடுகள் மிக எளிதாகின்றன.

Noise Reduction: புகைப்படங்களில் இருக்கும் தேவையில்லாத புள்ளிகளை (Noise) நீக்க ஃபோரியர் வடிகட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உயர் அதிர்வெண் கொண்ட புள்ளிகளை மட்டும் நீக்குவதன் மூலம் தெளிவான பிம்பத்தைப் பெற முடிகிறது.

விண்வெளித் தரவு பகுப்பாய்வு (Astro Data Analysis)

வானியலாளர்களுக்கு விண்வெளியிலிருந்து வரும் தரவுகள் அனைத்தும் மின்காந்த அலைகளாகவே கிடைக்கின்றன.

புதிய கிரகங்களைக் கண்டறிதல்: ஒரு நட்சத்திரத்தைச் சுற்றி ஏதேனும் கிரகம் (Exoplanet) சுற்றுகிறதா என்பதைக் கண்டறிய அதன் ஒளி மாறுபாட்டை (Light curve) ஆராய்வார்கள். நட்சத்திரத்தின் ஒளியில் ஏற்படும் மிகச்சிறிய, காலமுறை மாற்றங்களைக் (Periodic dips) கண்டறிய ஃபோரியர் தொடர்கள் உதவுகின்றன. நாசா தன்னுடைய கெப்ளர் விண்கலத்தின் தரவு பகுப்பாய்விற்கும் இந்த சூத்திரங்களை தான் முதன்மையாக பயன்படுத்துகிறது என அறிந்து கொள்ள முடிகிறது.இதில் ஒரு புராஜெக்ட் செய்வதற்கு திட்டமும் வைத்து இருக்கிறேன்.

அண்டவெளி:

 ரேடியோ டெலஸ்கோப்புகள் மூலம் பெறப்படும் சிக்னல்களில், பிரபஞ்சத்தின் பின்னணி கதிர்வீச்சுகளை (Cosmic Microwave Background) ஆய்வு செய்யவும் ஃபோரியர் உருமாற்றம் இன்றியமையாதது. விண்வெளியிலிருந்து ஏலியன்கள் நமக்கு ஏதேனும் அபாய சங்கு ஊதுகிறார்களா என்பதை பூரியர் கணித்து சொல்லிவிடும்.

ஏன் இது இவ்வளவு முக்கியம்? 

ஏன் நாம் நேரடியான தரவுகளை (Time Domain) அப்படியே பயன்படுத்தாமல், ஃபோரியர் மூலம் மாற்ற வேண்டும்? உதாரணமாக, ஒரு கூட்ட நெரிசலில் ஆயிரம் பேர் பேசிக்கொண்டிருக்கிறார்கள். உங்களுக்குப் பிடித்த ஒருவரின் குரலை மட்டும் நீங்கள் கேட்க விரும்பினால், அந்தக் கூட்டத்தின் ஒட்டுமொத்த சத்தத்தில் இருந்து குறிப்பிட்ட ‘பிட்ச்’ (Frequency) உள்ள குரலை மட்டும் உங்கள் மூளை பிரித்தெடுக்க முயல்கிறது. இதே வேலையைத் தொழில்நுட்ப ரீதியாகத் துல்லியமாகச் செய்வதுதான் ஃபோரியர் உருமாற்றம். தரவுகளை உருமாற்றினால் மட்டுமே நம்மால் “தேவையானது எது, தேவையற்றது எது” என்பதைத் தீர்மானிக்க முடியும். இந்த அடிப்படையை மட்டும் வைத்துக்கொண்டு ஃபோரியர் இந்த உலகத்தை ஆண்டு கொண்டிருக்கிறது.

தகவல் தொடர்பு

 

நாம் அலைபேசியில் பேசும்போது நமது குரல் ஒரு காற்று அலை (Sound wave). இது மின்காந்த அலைகளாக மாற்றப்பட்டு கோபுரங்களுக்கு அனுப்பப்படுகிறது. ஒரே நேரத்தில் கோடிக்கணக்கான மக்கள் பேசும்போது, ஒருவருடைய சிக்னல் மற்றவருடன் கலக்காமல் இருப்பது எப்படி? இங்கேதான் ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஒரு போக்குவரத்துக் காவலராகச் செயல்படுகிறது.

1. அலைவரிசைப் பகுப்பாய்வு (Bandwidth Management)

ஒவ்வொரு தகவல் தொடர்பு நிறுவனத்திற்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட அலைவரிசை (Frequency range) ஒதுக்கப்பட்டிருக்கும். ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு பெரிய சிக்னலைச் சிறு சிறு துண்டுகளாகப் பிரித்து, வெவ்வேறு அதிர்வெண்களில் தகவல்களை அனுப்ப முடியும். இதைத் தொழில்நுட்ப ரீதியாக OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) என்பார்கள். 4G மற்றும் 5G தொழில்நுட்பங்களின் இதயம் இதுதான்.

2. இரைச்சல் நீக்கம் (Signal Denoising)

தகவல்கள் காற்றில் பயணம் செய்யும்போது மின்னல், மற்ற மின்சாதனங்கள் அல்லது கட்டிடங்களால் இரைச்சல் (Noise) சேர வாய்ப்புண்டு. சிக்னலைப் பெறும் இடத்தில், ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் போட்டுப் பார்த்தால், அசல் குரல் எந்த அதிர்வெண்ணில் இருக்கிறது, இரைச்சல் எந்த அதிர்வெண்ணில் இருக்கிறது என்பது தெரிந்துவிடும். தேவையில்லாத அதிர்வெண்களை ‘Filter’ செய்வதன் மூலம் தெளிவான ஒலியைப் பெற முடிகிறது.

தரவுச் சுருக்கம்

உங்களுக்கு ஒரு சந்தேகம் வரலாம்: உயர்தரமான ஒரு புகைப்படம் 10 MB அளவில் இருக்கிறது, ஆனால் அதை வாட்ஸ்அப்பில் அனுப்பும்போது தரம் குறையாமல் அளவு எப்படிச் சுருங்குகிறது? இதற்குப் பின்னால் இருப்பது Discrete Cosine Transform (DCT), இது ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் ஒரு நெருங்கிய தொடர்புடையது

JPEG படங்கள்: ஒரு புகைப்படத்தில் பக்கத்துப் பக்கத்தில் இருக்கும் பிக்சல்கள் (Pixels) பெரும்பாலும் ஒரே நிறத்தில்தான் இருக்கும். ஃபோரியர் கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி, மீண்டும் மீண்டும் வரும் இந்தத் தகவல்களைக் கண்டறிந்து, தேவையில்லாத விவரங்களை நீக்கிவிட்டு, படத்தின் தரத்தை பாதிக்காமல் கோப்பின் அளவைச் சுருக்க முடியும்.

MP3 மற்றும் வீடியோ: இதே தத்துவம்தான் ஆடியோ மற்றும் வீடியோ கோப்புகளுக்கும் பொருந்தும். மனிதக் காதுகளுக்குக் கேட்காத மிக அதிக அல்லது மிகக் குறைந்த அதிர்வெண்களை ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு மூலம் கண்டறிந்து நீக்கிவிடுவதால், குறைந்த நினைவகத்தில் அதிக பாடல்களைச் சேமிக்க முடிகிறது.

விண்வெளித் தரவுகளில் ஃபோரியர் (Space & Satellite Data)

பூமிக்கு வெளியே இருந்து வரும் சிக்னல்கள் மிகவும் பலவீனமானவை. உதாரணமாக, செவ்வாய் கிரகத்தில் இருக்கும் ஒரு ரோவர் (Rover) அனுப்பும் தரவுகள் பல கோடி கிலோமீட்டர் பயணம் செய்து பூமிக்கு வருகின்றன.

சிக்னல் மீட்பு: விண்வெளியின் பின்னணி இரைச்சலில் இருந்து ரோவர் அனுப்பிய தரவைத் துல்லியமாகப் பிரிக்க ஃபோரியர் உருமாற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கோள்களின் சுழற்சி: ஒரு நட்சத்திரத்தின் ஒளியைப் பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் (Spectroscopy), அந்த நட்சத்திரம் நம்மை நோக்கி வருகிறதா அல்லது விலகிச் செல்கிறதா என்பதை அதன் அதிர்வெண் மாற்றத்தை (Doppler Shift) வைத்து அறியலாம். இதற்கு ஃபோரியர் தொடர்களே அடிப்படை.

கற்பனை செய்து பாருங்கள், ஒரு பெரிய நூலகத்தில் உள்ள அனைத்துப் புத்தகங்களும் குவியலாகக் கொட்டிக் கிடக்கின்றன. உங்களுக்குத் தேவையான ஒரு பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எவ்வளவு கடினம்? ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது அந்த நூலகத்தை வகைப்படுத்தி, அடுக்கி வைப்பது போன்றது.

நேர அடிப்படையில் (Time Domain) இருக்கும் தரவுகள் குழப்பமானவை. அதை அதிர்வெண் அடிப்படையில் (Frequency Domain) மாற்றும்போது, தரவுகளுக்குள் இருக்கும் ஒழுங்குமுறை (Pattern) பளிச்செனத் தெரிகிறது. இந்த ஒழுங்குமுறையைக் கண்டறிவதே அறிவியல் வளர்ச்சியின் ரகசியம்.

ஒரு கிதாரில் (Guitar) ஆறு கம்பிகள் உள்ளன. நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் மீட்டினால் ஒரு ‘நாடி’ (Chord) பிறக்கும். ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது அந்த ஒட்டுமொத்த நாடியைக் கேட்டு, அதில் முதல் கம்பி எவ்வளவு அதிர்ந்தது, நான்காவது கம்பி எவ்வளவு அதிர்ந்தது என்று ஒவ்வொரு கம்பியின் பங்களிப்பையும் தனித்தனியாகப் பிரித்துச் சொல்லும் ஆற்றல் கொண்டது.

தீர்வுகளின் தேடல்: எப்படிச் செயல்படுகிறது?

ஃபோரியர் தொடரின் மிக முக்கியமான சிறப்பம்சமே, அது ஒரு “தொடர்ச்சியற்ற” (Discontinuous) அல்லது “சிக்கலான” அலையை, “தொடர்ச்சியான” சைன் மற்றும் கோசைன் அலைகளின் கூட்டலாக மாற்றுவதுதான்.

உதாரணமாக, ஒரு சதுர அலை (Square Wave)-யை எடுத்துக்கொள்வோம். டிஜிட்டல் மின்னணுவியலில் 0 மற்றும் 1 ஆகிய நிலைகளைக் குறிக்க இது பயன்படுகிறது. இது செங்குத்தாக ஏறி, நேராகச் சென்று, மீண்டும் செங்குத்தாக இறங்கும். பார்ப்பதற்கு மிகவும் எளிமையாகத் தெரிந்தாலும், கணித ரீதியாக இதை ஒரே சமன்பாட்டில் அடக்குவது கடினம்.

ஆனால், ஃபோரியர் என்ன சொன்னார் என்றால்:

“நீங்கள் போதுமான அளவு சைன் அலைகளை வெவ்வேறு அதிர்வெண்களில் சேர்த்தால், உங்களால் ஒரு சதுர வடிவத்தையோ அல்லது எந்த ஒரு வடிவத்தையோ உருவாக்க முடியும்.”

இதையே நாம் ஃபோரியர் தொகுப்பு (Fourier Synthesis) என்கிறோம். நாம் எவ்வளவு அதிகமான அலைகளைச் சேர்க்கிறோமோ, அவ்வளவு துல்லியமான தீர்வை (Solution) நாம் பெற முடியும்.

இயற்பியலில் ஃபோரியர் தீர்வுகள் 

இயற்பியலில் பல மாற்றங்கள் ‘வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்’ (Differential Equations) மூலமே விளக்கப்படுகின்றன. இவை தீர்ப்பதற்கு மிகவும் கடினமானவை. ஆனால் ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஒரு விந்தையைச் செய்கிறது:

வெப்பக் கடத்தல் (Heat Equation): ஒரு இரும்புத் தண்டின் ஒரு முனையைச் சூடுபடுத்தினால், வெப்பம் சீராகப் பரவாது. இதைத் தீர்க்க ஃபோரியர் தனது தொடர்களைப் பயன்படுத்தினார். கடினமான வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளை எளிய இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளாக (Algebraic Equations) மாற்றுவதே ஃபோரியரின் மேஜிக்.

கட்டிட அதிர்வுகள் (Structural Engineering): ஒரு நிலநடுக்கம் வரும்போது ஒரு கட்டிடம் எப்படி ஆடும்? அந்த அதிர்வுகளைச் சிறு சிறு அலைகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம், எந்த அதிர்வெண்ணில் கட்டிடம் இடியும் (Resonance) என்பதைக் கணிக்க முடியும். இதற்கு ஃபோரியர் பகுப்பாய்வே தீர்வு.

நவீனத் தொழில்நுட்பத்தில் “Fast Fourier Transform” (FFT)

கணினிகள் உருவான தொடக்க காலத்தில் ஃபோரியர் கணக்குகளைச் செய்வது மிகவும் மெதுவாக இருந்தது. ஆனால் 1965-ல் கூலி (Cooley) மற்றும் டக்கி (Tukey) ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட FFT (Fast Fourier Transform) அல்காரிதம் உலகையே மாற்றியது.

இது கணக்கீடுகளின் எண்ணிக்கையை வியக்கத்தக்க வகையில் குறைத்தது. இன்று உங்கள் கையில் இருக்கும் ஸ்மார்ட்போனில் கேமரா பில்டர்கள் வேலை செய்வதற்கும், கூகுள் அசிஸ்டண்ட் உங்கள் குரலைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் இந்த FFT தான் காரணம். இது இல்லையென்றால், ஒரு புகைப்படத்தைச் சுருக்குவதற்கு (Compress) ஒரு கணினி சில மணிநேரங்களை எடுத்துக் கொள்ள வேண்டியிருக்கும்.

 பல ஒளி ஆண்டுகள் தொலைவில் இருக்கும் ஒரு நட்சத்திரத்தின் வேதியியல் மாற்றங்களை நாம் எப்படி பூமியில் அமர்ந்து அறிகிறோம்?

நட்சத்திரத்திலிருந்து வரும் ஒளியை ஒரு ‘பிரிசம்’ (Prism) கொண்டு பிரித்தால், அதில் கருப்பு நிறக் கோடுகள் (Absorption Lines) தெரியும். இந்த ஒளிச் சிக்னலை ஃபோரியர் உருமாற்றத்திற்கு உட்படுத்தினால், அதன் நிறமாலையில் (Spectrum) இருக்கும் குறிப்பிட்ட அதிர்வெண்கள் நமக்குத் தெரியும். ஒவ்வொரு தனிமத்திற்கும் (ஹைட்ரஜன், ஹீலியம் போன்றவை) ஒரு தனித்துவமான அதிர்வெண் ‘கைரேகை’ உண்டு. அதை ஃபோரியர் மூலம் ஒப்பிட்டுப் பார்த்து, அங்கு என்ன நடக்கிறது என்பதை நாம் கண்டறிகிறோம்.

அறிவியல் என்பது சிக்கலான விஷயங்களை எளிமையாக்குவதுதான். ஃபோரியர் நமக்கு ஒரு புதிய கண்ணாடியைக் கொடுத்தார். அதன் வழியாகப் பார்த்தால், பிரபஞ்சம் முழுவதும் எண்களாகவோ அல்லது சூத்திரங்களாகவோ தெரியாது—மாறாக, ஒரு அழகான இசைக் கோர்வையாகத் தெரியும். ஒவ்வொரு பொருளும் தனக்கென ஒரு அதிர்வெண்ணைக் கொண்டுள்ளது.

நாம் இதுவரை ஃபோரியர் கணிதத்தின் வரலாறு, மருத்துவம், தகவல் தொடர்பு மற்றும் பொறியியல் பயன்பாடுகளைக் கண்டோம். இப்போது மனித அறிவியலின் உச்சமான குவாண்டம் இயற்பியலில் ஃபோரியர் எவ்வாறு விளையாடுகிறது என்பதையும், வருங்காலத் தொழில்நுட்பத்தில் இதன் இடத்தையும் ஆராய்வோம்.

குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ் மற்றும் ஃபோரியர் (The Quantum Connection)

அணுக்களுக்குள் இருக்கும் நுண் துகள்களின் உலகமே குவாண்டம் இயற்பியல். இங்கே துகள்கள் என்பவை அலைகளாகவும் (Wave-particle duality) கருதப்படுகின்றன.

ஹைசன்பர்க்கின் நிச்சயமற்ற கோட்பாடு (Uncertainty Principle): ஒரு துகளின் இடத்தையும் (Position) அதன் உந்தத்தையும் (Momentum) ஒரே நேரத்தில் துல்லியமாகக் கணக்கிட முடியாது என்பது விதி. கணித ரீதியாகப் பார்த்தால், இடமும் உந்தமும் ஒன்றிற்கொன்று ‘ஃபோரியர் இணைகள்’ (Fourier Transform pairs). அதாவது, ஒன்றைச் சுருக்கினால் இன்னொன்று விரிவடையும். ஃபோரியர் கணிதம் இல்லாமல் குவாண்டம் உலகத்தை நம்மால் விவரிக்கவே முடியாது.

குவாண்டம் கணினிகள் (Quantum Computing): வருங்காலக் கணினிகளில் தரவுகளை மிக வேகமாகத் தேடுவதற்கு “Quantum Fourier Transform” (QFT) பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது தற்போதைய சூப்பர் கம்ப்யூட்டர்களை விட பல மடங்கு வேகத்தில் சிக்கலான மறையீடுகளை (Cryptography) உடைக்க உதவும்.

எதிர்காலத் தொழில்நுட்பம்: ஸ்மார்ட் சிட்டி முதல் விண்வெளி வரை

சுய ஓட்டுநர் கார்கள் (Autonomous Vehicles): கார்களில் பொருத்தப்பட்டுள்ள லிடார் (LiDAR) மற்றும் ரேடார் கருவிகள், முன்னால் இருக்கும் தடைகளைக் கண்டறிய லேசர் அலைகளை அனுப்புகின்றன. அந்த அலைகள் திரும்பி வரும்போது, ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு மூலம் அவை எவ்வளவு தூரத்தில் உள்ளன, என்ன வேகத்தில் வருகின்றன என்பது துல்லியமாகக் கணக்கிடப்படுகிறது.

காலநிலை மாற்றம் (Climate Data): பல தசாப்த கால வானிலை தரவுகளை ஆராய்ந்து, அதில் இருக்கும் சுழற்சி முறைகளை (Seasonal Patterns) கண்டறிய ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு உதவுகிறது. இதன் மூலம் புவி வெப்பமடைதலின் வேகத்தைத் துல்லியமாகக் கணிக்க முடிகிறது.

ஒலி மேலாண்மை: இன்று சந்தையில் கிடைக்கும் ‘Noise Cancellation’ ஹெட்போன்கள், காற்றில் வரும் இரைச்சலை ஃபோரியர் மூலம் பகுப்பாய்வு செய்து, அதற்கு இணையான எதிர்மறை அலையை (Anti-wave) உருவாக்கி இரைச்சலை ரத்து செய்கின்றன.

ஜோசப் ஃபோரியர் தனது வெப்பக் கடத்தல் கோட்பாட்டை முன்வைத்தபோது, அது இவ்வளவு பெரிய தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும் என்று யாரும் நினைக்கவில்லை. இன்று ஒரு எளிய அலைபேசி அழைப்பு முதல் விண்வெளி ஆராய்ச்சி வரை அனைத்திலும் ஃபோரியர் நிறைந்திருக்கிறார்.

அறிவியல் என்பது வெறும் புத்தகத்தில் இருக்கும் பார்முலா மட்டும் அல்ல; அது நம்மைச் சுற்றி ஓயாமல் வீசும் அலைகளில் ஒளிந்திருக்கிறது. அந்த அலைகளின் மொழியைப் புரிந்துகொள்ள ஃபோரியர் ஒரு அகராதியைப் போன்றவர். தொழில்நுட்பம் எவ்வளவு வளர்ந்தாலும், அலைகள் இருக்கும் வரை ஃபோரியரின் தேவை நீடிக்கும்.

கொஞ்சம் செய்யறிவு, நிறையவே சுய அறிவு என கலந்து பிடித்து இந்த கட்டுரையை எழுதி முடித்திருக்கிறேன். கணியத்தில் கட்டுரை எழுதும் போது நிரல் இல்லாமல் இருந்தால் எப்படி? அதற்காக நானே எழுதிய ஃபூரியர் கணக்கீட்டுக்கான அடிப்படை நிரலின் இணைப்பை முதலிலேயே இணைத்திருக்கிறேன். 

கட்டுரையாளர்: 

ஸ்ரீ காளீஸ்வரர் செ,

தமிழ் அறிவியல் எழுத்தாளர். 

நாகர்கோவில் – 03